DAS KOMPLEXE POTENTIAL

Wir werden nun die Eigenschaften einer komplexen Funktion untersuchen, deren Real- und Imaginärteil konjugierte Funktionen sind. Speziell definieren wir das komplexe Potential

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In der komplexen (Argand-Gauß-) Ebene ist jedem Punkt eine komplexe Zahl zugeordnet

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Allgemein können wir schreiben

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Die Tatsache, daß für tex2html_wrap_inline292 und tex2html_wrap_inline294 die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen gelten, bzw. diese Funktionen konjugiert sind, ist eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß f analytisch ist.

Wenn nun f analytisch ist, folgt daraus die Differenzierbarkeit von f und damit die Endlichkeit des Grenzwertes

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und dessen Unabhängigkeit von der Richtung von tex2html_wrap_inline300 .

Wenn wir nun tex2html_wrap_inline302 setzen, folgt daraus

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Dasselbe Ergebnis erhält man, wenn man analog  tex2html_wrap_inline304 setzt

Daraus folgt:

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so daß die Ableitung des komplexen Potentials W in der komplexen z-Ebene die konjugiert Komplexe der Geschwindigkeit ergibt.

Die Kenntnis des komplexen Potentials als eine komplexe Funktion von z ermöglicht die Bestimmung des Geschwindigkeitsfeld durch eine einfache Ableitung.